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少量數(shù)據(jù)的統(tǒng)計處理――t分布曲線 (一)

發(fā)布時間：2017-09-01

態(tài)分布是對無限次測量而言的，而在實際工作中，只能對隨機抽得的樣本進行有限次測定。數(shù)據(jù)處理的任務(wù)就是通過對有限次測量數(shù)據(jù)合理的分析，對總體做出科學(xué)的論斷。其中包括對總體平均值的估計和對它的統(tǒng)計檢驗。

對于有限次測定，通常無法知道總體標(biāo)準(zhǔn)偏差σ和總體平均值μ，只能用樣本標(biāo)準(zhǔn)偏差s來估計測量數(shù)據(jù)的分散情況。用s代替σ，必然引起誤差，從而導(dǎo)致正態(tài)分布的偏離，這時可用t分布來代替，以補償這一誤差。t分布是由英國統(tǒng)計學(xué)家兼化學(xué)家戈塞特(W.S.Gosset)提出的。t的定義與u一致，只是用s代替σ，即：

也可衍生出：

t分布如圖2―5所示，縱坐標(biāo)同正態(tài)分布仍為概率密度y，但橫坐標(biāo)則將u改為用t表示。由圖可見，t分布曲線與正態(tài)分布曲線相似，只是t分布曲線因自由度f的不同而不同。當(dāng)f＞20時，二者很接近，當(dāng)f→∞時，t分布就趨近正態(tài)分布。

與正態(tài)分布曲線一樣，t分布曲線下面某區(qū)問的面積，也表示測定值或隨機誤差出現(xiàn)的概率。應(yīng)該注意，對于正態(tài)分布曲線，只要“值一定，相應(yīng)的概率也就一定；但對于t分布曲線，當(dāng)t值一定時，由于f值的不同，相應(yīng)曲線所包圍的面積，即概率卻不同。不同概率及不同廠值所相應(yīng)的t值已有數(shù)學(xué)家計算出來，表2-2列出了部分常用的t值。由于t值與置信度及自由度有關(guān)，所以通常用t_{a,f表示。α=1-ρ，根據(jù)置信度的定義，α為測定值落在某區(qū)間之外的概率，稱為顯著性水平。t_{0.05,9=2.26表示概率(置信度)為95％，自由度f為9(測定次數(shù)n為10)時的t值。}}

平均值的置信區(qū)間：

如前所述，只有當(dāng)n→∞，x→μ，才能準(zhǔn)確地找到總體平均值μ，顯然，實際上是做不到的。從“2.2.2偶然誤差的區(qū)間概率”可知，如果用單次測定結(jié)果(x)對總體平均值μ的范圍作出估計，則μ包括在x±1ρ范圍內(nèi)的概率為68.3％，在x±1.96ρ范圍內(nèi)的概率為95.0％，在x±2ρ范圍內(nèi)的概率為95.5％……它的數(shù)學(xué)表達式為：

若以樣本平均值x(_)對總體平均值μ的范圍作出估計，則可按下式表示:

在實際工作中，對于少量測量數(shù)據(jù)，必須根據(jù)t分布進行統(tǒng)計處理，按t的定義可得出:

式(2-22)表示：在一定置信度下，總體平均值(真值)μ將在測定平均值x(_)附近的一個區(qū)間范圍，這就叫平均值的置信區(qū)間。對于置信區(qū)間的概念必須正確理解，如μ=48.50％±0.10％(P=95％)，應(yīng)當(dāng)理解為在48.40％～48.60％區(qū)間內(nèi)包含總體平均值μ的概率為95％。式(2-21)常作為分析結(jié)果的表達式。

只要選定置信度，從測定結(jié)果的x(―)、s、n值就可求出相應(yīng)的置信區(qū)間。

置信區(qū)問的寬窄與置信度、測定值的精密度、測定次數(shù)有關(guān)，當(dāng)測定值的精密度愈高(s愈小)測定次數(shù)(n)愈大時，置信區(qū)間愈窄，即平均值愈接近真值，平均值愈可靠。

置信度選得愈高，置信區(qū)間就愈寬，其區(qū)間包括真值的概率也就愈大，在分析化學(xué)中，一般選置信度95％或90％。

顯著性檢驗：

在實際工作中，對試樣的分析結(jié)果，可能與標(biāo)準(zhǔn)值不同；或者兩種方法、兩個實驗室或兩名分析人員對同一試樣的分析結(jié)果會彼此不同，其原因可能是存在著隨機誤差或系統(tǒng)誤差。如果是隨機誤差所致，那么從統(tǒng)計學(xué)來說是正常的；但如果是系統(tǒng)誤差所致，那就稱此兩組結(jié)果存在顯著性差異。要確定是否存在系統(tǒng)誤差，就要作顯著性檢驗。在定量分析中常用t檢驗法和F檢驗法。

t檢驗法：

(1)平均值與標(biāo)準(zhǔn)值的比較

為了評價某一分析方法或操作過程的可靠性，可將分析數(shù)據(jù)的平均值與試樣的標(biāo)準(zhǔn)值進行比較，檢驗兩者有無顯著性差異，以確定分析方法是否存在系統(tǒng)誤差。

作t檢驗時，先將標(biāo)準(zhǔn)值μ與平均值x(_)代入下式計算t值：

再根據(jù)置信度(通常為95％)和自由度f，由t分布表中查出t值。

若t_{計算>t_{表，則說明x(_)處于以μ為中心的95％概率區(qū)間之外。也就是說，有95％的可靠性，可以認為x(_)與μ有顯著性差異，說明有系統(tǒng)誤差。}}

(2)兩組數(shù)據(jù)平均值的比較

不同分析人員或同一分析人員采用不同方法分析同一試樣，所得的平均值，經(jīng)常是不完全相等的。為了比較兩組數(shù)據(jù)是否有顯著性差異，亦可采用t檢驗法。

若兩組測定結(jié)果分別為(x(_)_{1，s_{1，n_{1)和(x(_)_{2，s_{2，n_{2)，首先用F檢驗法檢驗兩組數(shù)據(jù)的精密度s_{1、s_{2有無顯著性差異。若有顯著性差異，因進一步處理方法較復(fù)雜，此處不再詳述。}}}}}}}}

若無顯著性差異，進而用t檢驗法檢驗兩組平均值之間有無顯著性差異。按下式計算t值。

在一定置信度下，查得表值t_{表(總自由度f=n_{1+n_{2―2)，若t_{計>t_{表，則兩平均值有顯著性差異。若t_{計<t_{表，則不存在顯著性差異。}}}}}}}

參考資料：分析化學(xué)

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