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支撐面積對(duì)薄鏡面形影響的研究
發(fā)布時(shí)間：2017-09-01
引言
隨著空間光學(xué)系統(tǒng)和高功率激光系統(tǒng)向大口徑方向發(fā)展[1]，系統(tǒng)主要光學(xué)元件的口徑不斷增大， 這極大地影響了整個(gè)光學(xué)系統(tǒng)的質(zhì)量和體積，以及工程的成本。因此，通過減小元件厚度，使用薄型和超薄型光學(xué)元件來(lái)改善系統(tǒng)結(jié)構(gòu)成為目前光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)的主要方式[2]。但隨著光學(xué)元件厚度的降低，直徑厚度比的增大， 元件面形在使用過程中非常容易受到外界因素的影響(如重力作用、機(jī)械振動(dòng))，導(dǎo)致光束質(zhì)量的惡化，其中，鏡面的自身質(zhì)量和支撐結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的鏡面變形尤為突出。考慮到鏡面支撐結(jié)構(gòu)中軸向支撐比徑向支撐對(duì)鏡面變形的作用更大，因此，必須設(shè)計(jì)一套合理的支撐結(jié)構(gòu)來(lái)盡可能地降低鏡面自重產(chǎn)生的變形，從而獲得較好的表面面形。另外，由于天文望遠(yuǎn)鏡主鏡與高功率激光系統(tǒng)中的大口徑反射鏡在應(yīng)用上的不同，它們對(duì)不同空間頻率范圍的面形畸變控制要求不一樣[3]，因此，在設(shè)計(jì)支撐結(jié)構(gòu)時(shí)，還必須考慮鏡面變形的空間頻率特性。基于此，利用有限元法對(duì)薄型鏡面變形情況進(jìn)行分析，然后通過設(shè)計(jì)不同的支撐單元面積，分析元件面形變化， 最后分別從空間域與頻率域上分析了支撐單元大小對(duì)鏡面形狀的影響。
1 基本理論
由于可以將各種晶體或玻璃材料生產(chǎn)的光學(xué)元件看作彈性體，這樣在分析其變形過程時(shí)，可以利用彈性力學(xué)中的薄板彎曲小撓度方程犖2犖2 w=q/D 進(jìn)行求解[4]。而該方程只有在環(huán)帶支撐情況下才具有解析解，對(duì)目前廣泛使用的多點(diǎn)支撐方案得不到解析結(jié)果，所以文中選擇有限元法來(lái)求解。
有限元法的基本思想是將連續(xù)體劃分為有限個(gè)在節(jié)點(diǎn)處連接的小單元，然后利用在各單元內(nèi)假設(shè)的近似函數(shù)來(lái)分片逼近全求解域上的未知場(chǎng)函數(shù)。文中將二維圓板離散成若干個(gè)矩形單元，每一單元的模型如圖1 所示。圖中矩形單元兩邊長(zhǎng)分別為2a和2b，有4 個(gè)節(jié)點(diǎn)(i、j、m、p)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有3 個(gè)自由度( 沿z 軸方向的撓度w、繞x 軸的轉(zhuǎn)角θ x 、繞y 軸的轉(zhuǎn)角θy )。由于只受到沿z 軸方向重力的作用，利用最小位能原理建立有限元方程Ke ae =Pe [5]，將矩形板單元中節(jié)點(diǎn)的位移表示成單位剛度矩陣與等效節(jié)點(diǎn)載荷的乘積。
E 為彈性模量;t 為矩形單元厚度;μ 為泊松比;ρ 為單元單位厚度的質(zhì)量，即載荷。因此，將公式(2)帶入公式(1)，再加上固支邊界條件，就可得到矩形單元節(jié)點(diǎn)的位移，然后推廣到整個(gè)模型，得到模型的撓度w，就可以計(jì)算模型各點(diǎn)的應(yīng)力、P螄V 和RMS 值等，為研究面形的變化做準(zhǔn)備。
2 有限元模型計(jì)算結(jié)果及分析
以K9 玻璃為鏡面材料，具體參數(shù)：彈性模量E=81.32 GPa，泊松比μ=0.209，密度ρ=2.53 g/cm3。光學(xué)元件口徑Φ200 mm，厚度h=10 mm。將其進(jìn)行有限單元?jiǎng)澐趾蟆?/p>
2.1 支撐單元面積對(duì)元件面形影響的空域分析
在光學(xué)元件上施加9 個(gè)支撐單元， 如圖3 所示。內(nèi)環(huán)3 個(gè)支撐單元，距圓心25 mm，外環(huán)6 個(gè)支撐單元，距圓心70 mm，沿圓周均勻分布。在具體計(jì)算時(shí)對(duì)9 個(gè)支撐單元均施加全約束，首先固定內(nèi)環(huán)3 個(gè)支撐單元的面積均為28.756 mm2，改變外環(huán)支撐單元的面積， 分析外環(huán)支撐單元大小對(duì)元件面形的具體影響;然后在固定外環(huán)6 個(gè)支撐單元的面積均為555.146 mm2，改變內(nèi)環(huán)支撐單元的面積，分析內(nèi)環(huán)支撐單元大小對(duì)元件面形的具體影響。圖4 為外環(huán)支撐單元面積變化得到的圖形。(a)、(b)、(c)的外環(huán)支撐單元平均面積分別為8.827 mm2、158.324 mm2、555.146 mm2。在有限元分析過程中，面積的計(jì)算由所劃分的有限單元大小決定， 考慮支撐單元面積的相對(duì)誤差在5%的合理范圍內(nèi)，得到如下數(shù)據(jù)，如表1 和表2 所示。可以看出：相對(duì)于外環(huán)支撐單元面積，內(nèi)環(huán)支撐單元面積的變化對(duì)面形的P螄V、RMS 值的影響不大， 內(nèi)環(huán)支撐單元面積從0.8940 mm2 增大到28.756 mm2， 其P螄V 和RMS值分別變化了0.5%和9%。因此，文中主要研究外環(huán)支撐單元面積的變化對(duì)面形影響。
為了進(jìn)一步分析外環(huán)支撐單元面積變化對(duì)面形的影響，通過圖5 和圖6 可以進(jìn)行直觀的研究。
由圖5 和圖6 可以看出：隨著外環(huán)支撐單元面積的增大，鏡面的變形在減小，其P螄V、RMS 值逐漸減小，當(dāng)外環(huán)支撐單元面積由8.827 6 mm2 增大到555.146 mm2后，其P螄V、RMS 值下降了大約80%。計(jì)算結(jié)果說(shuō)明：外環(huán)支撐單元面積大小對(duì)空間域下的鏡面變形有明顯作用，通過增大外環(huán)支撐單元面積可以獲得較好的面形，這對(duì)于以后的工程設(shè)計(jì)有重要的參考意義。
2.2 支撐單元面積對(duì)元件面形影響的頻域分析
在高功率激光系統(tǒng)應(yīng)用中，非常關(guān)注光學(xué)元件面形畸變?cè)陬l率域中的分布[3]，利用一維PSD 曲線來(lái)具體分析支撐單元面積變化對(duì)元件面形畸變?cè)陬l率域中的影響。由圖4 可知：元件面形畸變具有對(duì)稱性，一維PSD 曲線可以較好地反映整個(gè)面變形情況的頻域信息。在計(jì)算中使用一維模型，如圖7 所示。
在模型中L=200 mm，H=10 mm，W=10 mm， 共401 個(gè)節(jié)點(diǎn)。設(shè)定在兩端簡(jiǎn)支， 在1 和2 處的支撐單元施加固定約束，當(dāng)支撐單元大小變化后，計(jì)算得到的PSD 曲線如圖8 所示，(a)、(b)、(c)在1 和2 處的支撐單元大小分別為5、7、13 mm。
從圖8(a) 可以看出： 此時(shí)由PSD 曲線反映出元件主要面形誤差分布在空間頻率大約為0.17 mm-1處。當(dāng)支撐單元逐漸增大到7 mm 時(shí)，面形誤差的頻率分布沒有明顯變化，但是圖8(b)中顯示的突變值幅值在減小，也就是該頻段誤差值降低。繼續(xù)增大對(duì)稱支撐單元的長(zhǎng)度，從圖8(c)可以看出：主要誤差頻率由0.17 mm-1 移向了0.2 mm-1，元件面形誤差已經(jīng)進(jìn)入了中頻段[7]。計(jì)算結(jié)果說(shuō)明支撐單元的大小對(duì)波前誤差的空間頻率分布有明顯的影響，當(dāng)支撐單元面積略微增大時(shí)，相當(dāng)于減小了調(diào)制深度[8]， 其突變值的幅度將減小；當(dāng)支撐單元面積增大較多時(shí)，又相當(dāng)于增加了調(diào)制頻率[8]，其突變值的位置將向較高頻段移動(dòng)。
3 結(jié)論
分析了薄型鏡面在多點(diǎn)支撐下，設(shè)計(jì)不同支撐單元面積而產(chǎn)生的鏡面變形情況， 通過計(jì)算P螄V、RMS值得知：從空域分析來(lái)看，支撐單元面積與光學(xué)元件面型之間的關(guān)系是增大外環(huán)支撐單元的面積可以明顯減小P螄V、RMS 值而獲得較好的面形; 從頻域分析的結(jié)果來(lái)看，支撐單元面積增大將使元件面形誤差向較高的空間頻段移動(dòng)，甚至可以達(dá)到中頻段。對(duì)于空間成像系統(tǒng)而言，影響成像質(zhì)量的主要是元件面形畸變的低頻段部分，而對(duì)于高功率激光系統(tǒng)而言，中頻段畸變信息將導(dǎo)致明顯的非線性破壞，因此，針對(duì)不同的應(yīng)用應(yīng)該合理考慮支撐單元大小的影響。經(jīng)過初步分析可知，采用多點(diǎn)支撐方案進(jìn)行大口徑光學(xué)元件的支撐時(shí)，如果在大口徑望遠(yuǎn)系統(tǒng)中，可以盡量增大支撐單元的面積;而在高功率激光系統(tǒng)中，則不能使用過大的支撐面積，以免增加中頻段誤差。
摘自：中國(guó)計(jì)量測(cè)控網(wǎng)
